Zelta attiecība ir proporcija, kas kopš seniem laikiem tiek uzskatīta par vispilnīgāko un harmoniskāko. Tas veido pamatu daudzām senām būvēm, sākot no statujām līdz tempļiem, un dabā tas ir ļoti izplatīts. Tajā pašā laikā šī proporcija tiek izteikta pārsteidzoši elegantās matemātiskās konstrukcijās.
Instrukcijas
1. solis
Zelta proporcija tiek definēta šādi: tas ir tāds segmenta sadalījums divās daļās, ka mazākā daļa attiecas uz lielāko tāpat kā lielākā daļa attiecas uz visu segmentu.
2. solis
Ja visa segmenta garums tiek pieņemts kā 1 un lielākās daļas garums tiek ņemts par x, tad meklēto proporciju izsaka ar vienādojumu:
(1 - x) / x = x / 1.
Reizinot abas proporcijas puses ar x un pārnesot nosacījumus, iegūstam kvadrātvienādojumu:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
3. solis
Vienādojumam ir divas reālas saknes, no kurām mūs dabiski interesē tikai pozitīvais. Tas ir vienāds ar (√5 - 1) / 2, kas ir aptuveni vienāds ar 0, 618. Šis skaitlis izsaka zelta attiecību. Matemātikā to visbiežāk apzīmē ar burtu φ.
4. solis
Skaitlim φ ir vairākas ievērojamas matemātiskās īpašības. Piemēram, pat no sākotnējā vienādojuma redzams, ka 1 / φ = φ + 1. Patiešām, 1 / (0, 618) = 1, 618.
5. solis
Vēl viens veids, kā aprēķināt zelta koeficientu, ir bezgalīgas daļas izmantošana. Sākot ar jebkuru patvaļīgu x, jūs varat secīgi izveidot daļu:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
utt.
6. solis
Lai atvieglotu aprēķinus, šo daļu var attēlot kā iteratīvu procedūru, kurā, lai aprēķinātu nākamo soli, iepriekšējās darbības rezultātam jāpievieno viens un jāsadala viens ar iegūto skaitli. Citiem vārdiem sakot:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Šis process saplūst, un tā robeža ir φ + 1.
7. solis
Ja aizstājam abpusējā aprēķinu ar kvadrātsaknes ekstrakciju, tas ir, mēs veicam iteratīvu cilpu:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), tad rezultāts paliks nemainīgs: neatkarīgi no sākotnēji izvēlētā x, atkārtojumi saplūst ar vērtību φ + 1.
8. solis
Ģeometriski zelta attiecību var izveidot, izmantojot parasto piecstūri. Ja mēs tajā uzzīmēsim divas krustojošās diagonāles, tad katra no tām stingri sadalīs otru zelta proporcijā. Šis novērojums, pēc leģendas, pieder Pitagoram, kuru atrastais paraugs bija tik šokēts, ka pareizo piecstaru zvaigzni (pentagramu) viņš uzskatīja par svētu dievišķu simbolu.
9. solis
Cēloņi, kāpēc tieši zelta attiecība cilvēkam šķiet vis harmoniskākā, nav zināmi. Tomēr eksperimenti ir atkārtoti apstiprinājuši, ka subjekti, kuriem tika uzdots sadalīt segmentu divās nevienādās daļās, visskaistāk to dara proporcijās, kas ir ļoti tuvu zelta proporcijai.
